Задача про суму ймовірностей

Доброго добра.
Маю у голові задачу, проте не маю достатньо знань для її розв’язку.
Дано:
Є 5 наперстків. Під одним з них — кулька. Авжеж, не відомо під яким. В людини, що бажає грошей, є 3 спроби вгадати де кулька. При чому наперстки відкриваються і не перемішуються з кожною спробою.
Тобто виходить, що на першій спробі ймовірність відгадати — 1/5 — 20%. Друга спроба — 1/4 — 25%. Третя спроба — 1/3 — 33,3%.
Питання: яка ймовірність, що людина вгадає за цих умов, що в неї є 3 спроби і 5 наперстків? Тобто цікавить саме «сумарна» ймовірність.

ПС.
Є синтетична відповідь.
Проте цікаві ваші роздуми, якщо не жалко їх :)

Синтетична відповідь:
Накрапав програмку для перевірки на node.js
Помацати аналог на фідлі — jsfiddle.net/u2koz8rt

var obj = {
    counts: 1000000,
    ok: 0,
    iterations: {1: 0, 2: 0, 3: 0},
    guessedCaps: {1: 0, 2: 0, 3: 0, 4: 0, 5: 0}
};

var caps;

for (var i = 0; i < obj.counts; i++) {
    caps = [1, 2, 3, 4, 5]; // Наші наперстки
    // Загадуємо наперсток
    var guessedCap = caps[guess(caps.length)];
    ++obj.guessedCaps[guessedCap];

    for (var iter = 0; iter < 3; iter++) {
        // Піднімаємо один з наперстків
        var tryCap = caps.pop(guess(caps.length));

        if (tryCap === guessedCap) {
            ++obj.ok;
            ++obj.iterations[iter +1];
            break;
        }

    }
}

console.log(obj);

function guess(to)
{
    return Math.floor(Math.random() * to);
}
Результат:
{
  counts: 1000000,
  ok: 600528,
  iterations: { '1': 199928, '2': 200526, '3': 200074 },
  guessedCaps: { '1': 199866, '2': 199606, '3': 200074, '4': 200526, '5': 199928 } }
Тобто синтетика підтверджує 3/5, або 60%.
👍НравитсяПонравилось0
В избранноеВ избранном0
LinkedIn
Допустимые теги: blockquote, a, pre, code, ul, ol, li, b, i, del.
Ctrl + Enter
Допустимые теги: blockquote, a, pre, code, ul, ol, li, b, i, del.
Ctrl + Enter

Может я чего не понял в задаче, но все ж вроде сводится к вероятности найти шар 3 из 5 (3/5) или 0.6. Тут как в задачке со слоном и собакой тоже можно итеративно считать, а можно просто прикинуть на пальцах. =)
Слона ведут из пунката А в пункт Б и в тоже время выбегает из пунка А в пунк Б собака которая бежит со скоростью в десять раз большей чем у слона при этом добегая до слона она гавкает и убегает в пункт Б и потом опять повтоятет свой путь надо узнать сколько пробежит собака, при условии, что скорость слона и расстояние между пунктом А и Б известны.

1й варианта решения:
вероятность угадать с первой попытки 1/5, со второй — 4/5 * 1/4 (надо учитывать то, что мы не угадали на предыдущей попытке), 4/5 * 3/4 * 1/3. все перемножаем -> 3/5
2й: количество «успешных» троек / кол-во всех троек:
все: 5 * 4 * 3 / (1 * 2 * 3) = 10. «успешные»: 4 * 3 / 2 = 6. => 3/5

Как говорил препод в универе, на самом деле, вероятность АБСОЛЮТНО ЛЮБОГО события составляет 1/2 — оно либо произойдёт, либо нет. :D

1/5 + 4/5*1/4+ 4/5 * 3/4 * 1/3

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место
P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B).

Пример. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.
Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов
P(A) = 5/35 = 1/7.
Но после того, как был взят первый холодильник с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе теоремы Байеса будет 2/17
Искомая вероятность будет: 1/7*2/17=2/119.

Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий, т.е.
P(ABC....LM) = P(A)×P(B/A)×P(C/AB) P(M/AB...L).

Лень все вспоминать, но тут точно должно быть запара с формулой Байеса и зависимыми вероятностями. И вообще похоже отчасти на парадокс Монти-Холла.

Не судите строго если чо. Все по памяти. Гугл не открывал даже)

Удалите весь этот позор.
ЗЫ. Пошел искать университетский конспект.

В мене немає таких повноважень)

<Вероятность что угадал> = 1 — <вероятность что не угадал> = 1 — 4/5 * 3/4 * 2/3 = 1 — 2/5 = 3/5 = 60%

тут получается
либо длинно:
вероятность угадать с первого раза(1/5) + вероятность угадать со второго, при этом не угадав с первого(1/4 * 4/5) + вероятность угадать с третьего(1/3), не угадав со второго(*3/4) и с первого(*4/5)
1/5 + 1/4*4/5 + 1/3*3/4*4/5 = 3/5
либо коротко:
вероятность, шар окажется именно под 3 открытыми из 5 всего — 3/5
:)

Угадывание с первого и со второго раза — не независимые события. Вероятность угадать с первой попытки — 1/5, со второй P(cо второй|~с первой) = 1/4 / (1 — 1/5) = 5/16.

звучит резонно. но тогда, получается, сумма будет не 3/5.
как-то странно.

хм. там же умножается вероятность В на вероятность(не А). умножается,а не делится

Да, вы были правы, я ошибся, условная вероятность того, что шарик находится во второй корзинке — и есть 1/4. Chain rule по-прежнему применяется, но я неправильно применил правило. My fault. Вы немного ввели меня в заблуждение формулировкой

вероятность угадать со второго, при этом не угадав с первого(1/4 * 4/5)
ведь вероятность угадать со второй попытки это и есть 1/4, но она сама по себе условная, так как опирается на то, что в первый раз мы не угадали, и вы как раз считаете не условную, a joint.
Формулировка навела меня на направильную мысль о том, что мы считаем условную вероятность, а не имеем ее. P(A2|!A1) = 1/4 = P(A2&&!A1) / P(!A1) = P(A2) / P(!A1) = 1/5 / 4/5

Ещё как зависимые. Нас интересует три события:
1) Угадали с первого раза — вероятность 1/5.
2) Угадали со второго раза — для этого обязательно должны не угадать в первый раз — вероятность 4/5 * 1/4
3) Угадали с третьего раза — два первых не угадали — 4/5 * 3/4 * 1/3
Как писалось выше — суммируем эти вероятности и получаем 3/5.

Да, вы правы, быстро написал, перепутал условную с joint.

Так какой у вас итоговый ответ? Что то уже и я подвис)
Если идти даже вашей логикой
A|B — вытащить со второй при условии что не вытащили с первой
P(A|B) = P(AB) / P(B)
AB — шарик во второй но не в первой => P(AB) = 1/5
B — не в первой => P(B) = 4/5
=> P(A|B) = 1/4

Да, все верно, перепутал со спеху. Меня немного спутала формулировка.

вот, что бывает, если знания не использовать :(

Приклад того, як рішення задачі спрощується, якщо дивитися на неї з правильного боку. Одна людина вибрала, які наперстки підіймати. Друга людина підкладає кульку під будь-який наперсток з рівною імовірністю, тобто 1/5. Рішення — сума імовірностей для обраних наперстків, тобто 3*1/5.

Подписаться на комментарии