Задачка для математиків
Одного разу Нютон з Лєйбніцем святкували день народження Декарта. Святкували вони, ходячи з пивниці А до пивниці В, потім з В назад до А, і так далі. А щоби вшанувати Декарта, ходили ортогонально — або по горизонталі, або по вертикалі. Спочатку вони надудлилися в пивниці А та пішли в В по червоній лінії отак (бо вже були трохи піддаті):
Нютон каже Лєйбніцу:
— Гоша, а ти помітив, шо червоний шлях має ту ж довжину, що й зелений?
В пивниці В вони добрали ще трохи, і пішли назад в А, тепер отак (бо хитало їх сильніше):
Нютон знов каже Лєйбніцу:
— Гоша, а ти помітив, шо червоний шлях і тепер має ту ж довжину, що й зелений?
З А вони знов пішли у В:
Нютон знову каже Лєйбніцу:
— Гоша, а ти помітив...
— Ізя, ти мене вибач, — каже Лєйбніц — але я зараз буду блювать, бо мене від такої ходьби вже укачало. Давай зробимо граничний перехід, та підемо навпростець, отак, бо все одно пройдений шлях буде той самий:
— Да, точно — каже Нютон — шлях буде той самий, офкоз, шюр, індід, сертенлі!
Карочє, пішли по прямій, і мало не наступили на п’яного в дупель Піфагора, який лежав на дорозі без штанів і співав:
— Сума катетів дорівнює гіпотенузі!
Питання: як можна так напиватися?
63 коментарі
Додати коментар Підписатись на коментаріВідписатись від коментарівДве параллельные гипотенузы — решение этой задачи.
Длина кривой — это точная верхняя грань (sup) длин всех ломанных, вписанных в кривую (все вершины таких ломанных должны принадлежать кривой).
«Лесенки» с картинок не являются вписанными в гипотенузу — так как не все вершины «лесенки» принадлежат гипотенузе, и поэтому не могут использоваться для вычисления её длины.
Це тому, що п′яного все одно шататиме із сторони в сторону, а тому шлях буде той самий. Для математиків: шлях визначається криволінійним інтегралом, тому під виразом інтеграла буде та сама формула, скільки б ви не намагалися зменшити інтервал.
Спробуйте дати фізичне поняття криволінійного інтегралу, зрозумієте що то де-факто і є постановка вашої задачі.
За криволинейные интегралы почитай.
Зачем так много писать? Это ж классика. Переход к пределу только для гладких функций где производные сходятся.
Вообще-то нет. Никто не запрещал проинтегрировать что угодно, если результат определён в пределах интегрирования. Помнишь, чему равен неопределённый интеграл 1/sin²(x)? А определённый, внезапно, есть.
Здесь нет интегралов. Это пределы. Хотя можно назвать и интегралом)) Критерий Коши тут тоже не при чем. Но, Anton Krisanov близок. Производные тоже должны сходиться. Почитал комментарии и ужаснулся. Ни одного правильного ответа. И эти люди пытаются меня обосрать..
Неопределенный тоже есть, это табличная функция. Неопределенный есть не всегда когда есть определенный и наоборот, так что вряд-ли из этого можно сделать какой либо вывод
В любом случае автор комментария не прав, если взять функцию вроде relu, то она будет интегрируема по риману не будучи гладкой
Ну, это конечно же неправда. Контрпримером служит, например, функция f(x) = |x|. В точке x=0 она с любой стороны сходится к 0, но тем не менее у нее нет ни одной производной в нуле.
Другим примером служит Виннеровский процесс — он всюду непрерывен, а значит его предел существует в каждой точке, но при этом он нигде не дифференцируем, что значит, что у него нет ни одной производной ни в одной точке.
Так что, как видите, не только гладкие функции имеют пределы.
Границя — взагалі дуже специфічна концепція, яку більшість просто зазубрила, не вникаючи в суть. QED.
Я не об этом, я об той, по которой строится интеграл. Вот это dx. Именно она должна быть гладкой что б интегрирование имело смысл.
Честно говоря, я не очень понимаю смысл Ваших слов. Во-первых, о каком конкретно интеграле Вы ведете речь? Во-вторых,
dx — это прирост аргумента? Или что это значит? На сколько я знаю, dx сам по себе не имеет никакого смысла. Смысл имеют обозначения d/dx (операторная форма) либо dy/dx (как синоним взятия производной). Это цельные обозначения, отдельно dx бессмысленно. В диффурах и интегральных уравнениях оно всегда идет вместе с dy, где y — это функция от х.
Если же dx в смысле бесконечно малого прироста, то прирост чего? Аргумента относительно себя самого же? Так это всегда 0. Если же это в смысле df = f’dx, где f(x) = x, то получается абсолютно ничего не значащая тривиальность dx = df = f’dx = [x]’dx = dx. Но в этом случае совершенно непонятна Ваша фраза
так как категория «гладкости», насколько мне известно, применима только к функциям, а dx — это какой-то неведомый зверь.
Во-первых, вы правы.. Я отвечал уже не помню кому, а искать лень.. Именно, он сказал за интеграл и что все правильно. Ему я и ответил по поводу криволинейного интегрирования. dx это я имел в ввиду что для того что б результат интеграла имел смысл, функция по которой интегрируем должна быть гладкой. Сори.. я здесь набегами и детально разбирать кто в чем ошибается нет ни времени ни желания. Приятно видеть грамотного математика на этом форуме. Редкий случай.. Ибо я ужаснулся от невежества большинства.
Тут Вы тоже неправы. Ограниченная функция интегрируема по Риману (а я так понимаю, мы тут говорим об интеграле Римана) на интервале [a,b] тогда и только тогда, когда она практически всюду непрерывна на [a,b]. Гладкой она быть не обязана.
Так, например, интеграл от f(x) = |x| на интервале [-5,+5] существует и равен 25, хотя f(x) не дифференцируема в точке x = 0.
Не рекомендую так начинать фразу даже если вы уверены в своей правоте. Я не говорил за функцию которую интегрируют. Я говорил за функцию ПО которой интегрируют. За вот это вот dx. Длину рассчитывают о криволинейному интегралу. Это касается конкретной задачи. Вы очень дотошны и грамотны. Думаю разберетесь. Сори. Было приятно пообщаться.))
Ага, значит речь о криволинейном интеграле. Тогда Ваша фраза
совершенно чудная. Криволинейный интеграл ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ такой, у которого поддифференциальная функция гладкая (на самом деле кусочно-гладкая). Если же под дифференциалом будет негладкая функция, то интеграл не «теряет смысл», а просто это НЕ криволинейный интеграл.
Криволинейный интеграл можно рассматривать как особый случай интеграла Римана-Стилтьеса, когда функция, по которой мы проводим интегрирование — кусочно-гладкая. Но для Римана-Стилтьеса существует теорема, которая говорит, что если поддифференциальная функция на интервале [a,b] конечной вариации, то интеграл существует для любой непрерывной на [a,b] функции. Обратите внимание — поддифференциальная функция должна быть конечной вариации, о гладкости ничего не говорится. И то — теорема постулирует достаточное условие, но не необходимое, а значит интеграл Римана-Стилтьеса существует даже для более широкого класса поддифференциальных функций.
В качестве примера можно взять дьявольскую функцию Кантора, которая хоть и дифференцируемая практически всюду, но все же далеко не гладкая и даже не кусочно-гладкая. Но она непрерывна и монотонна на [0,1], а значит имеет конечную вариацию. Ergo — она может выступать в качестве поддифференциальной функции в интеграле Римана-Стилтьеса, и этот интеграл имеет вполне определенный смысл. Так что гладкость не нужна для «осмысленности» интегрирования, что б это не значило.
Почему криволинейные интегралы выделяют отдельно? Просто потому, что если у Вас поддифференциальная функция g(x) гладкая, то в этом случае интеграл Римана-Стилтьеса преобразуется в самый обычный интеграл Римана путем замены dg(x)=g’(x)dx. Вот и все. Это просто приятный и хороший случай интегрирования по Риману-Стилтьесу.
Вот и я об том.. Что гладкая должна быть. А как от ступеньки вот это посчитать g’(x)dx
Никак, потому что ступенька нигде не дифференцируема. Эта задача решается просто без всяких производных или каких-либо интегралов. Даже не знаю, почему Вы так зацепились за них.
Набросал решение этого «парадокса»:
Будем считать ошибку En приближения длины диагональной линии через длину ступенчатой кривой, у которой количество ступенек — это какое-то произвольное, но конечное число n. Очевидно, что длина диагональной линии — sqrt(2), в то время как длина ступенчатой кривой 2 для любого n. Таким образом, какое б это n не было, ошибка приближения всегда будет 2 — sqrt(2). Даже если устремить это n в бесконечность. Иначе говоря, длину диагонали не приблизить ступенчатой функцией, так как ошибка приближения всегда константна.
А вот площадь треугольника — очень даже приближается, и это будет прямо таки «учебниковое» определению интеграла Римана через суммы Дарбу (или Римана? всегда их путаю).
Правильное решение любой школьник знает)) Тут проблема с обоснованием не правильного))
З певною поправкою на термінологію хочу привітати вас із впадінням в єресь некласичного аналізу за Робінсоном :)
Где тут нестандартный анализ? Я вроде нигде не использовал бесконечно малые либо бесконечно большие величины. Все по классическому анализу Вейерштрасса.
1/n = епсілон
n — это конечное число. 1/n — все еще конечное число (даже не очень понимаю, зачем Вы его ввели тут). Это не бесконечно малая.
Лимит мы определяем через классический (ε, δ)-формализм Вейерштрасса. Где тут нестандартный анализ?
Кхм.. ВейерштрассаПрогнал, соррі
Что имееться ввиду под «сходимостью» производных?
При чем тут гладкость?
Функция имеет бесконечное количество точек, в которых левая и правая производные отличаются, а значит граничный переход невозможен (нарушен критерий Коши).
Яка саме функція, перепрошую?
Они допились до живых мертвецов, и, идя по гипотенузе вроде прямо, их даже не шатало, так как их крутило и мотало из стороны в сторону от вертолета. Перемешение за 1 с на 600 мм вперед давало под 1200 мотаний налево/право.
в загальному випадку limx→x0 f(x) ≠ f(x0) ото і все. класичний приклад: функція sign(x) яка дає +1 для x>0, −1 для x<0 i 0 для x=0. очевидно sign(0) = 0. якщо я візьму xn = 1/n, то limn→∞ xn = 0, але при цьому limn→∞ sign(xn) = +1. а якщо я візьму xn = −1/n, то limn→∞ xn = 0, але при цьому limn→∞ sign(xn) = −1. Ви ж не думаєте, що на матаналізі просто так доводять купу всякої фігні типу коли сума границь рівна границі суми ітд?
Просто нужно правильно выбирать метрики.
Вот это правильный выбор
А главное — зачем, когда есть более интересные вещества.
Але ж вона невірна, бо в оригіналі мова про суму квадратів :)
В оригинале за корень квадратный из этой суммы.
Я погано знаю математику, тому лише припущу, що тут не зовсім правильний граничний перехід.
Я собі представив ці варіанти шляху як послідовність сум: S1, S2 ... Sn, дотого ж вони рівні між собою.
Оскільки «сума сходинок» = сумі катетів при подрібнені сходинок, то ми маємо послідовність яка є монотонною та неспадною (або не зростаючою) S1 <= S2 <= S3 ... <= Sn (тут вони всі рівні). А ще вона обмежена (зверху), тому ця послідовність збіжна і збігається до точної верхньої межі = суми катетів.
Тому, при подрібнені границя повина бути сумою катетів, а тут відбувся, як мені здалося, не зовсім коректний перехід.
Я ничего не понял но на всякий случай сходил в пивнуху :-)
тут AB не відрізок, а тому і не гіпотенуза. теоретично довжина лінії між двома точками може бути нескінченність
В багатовимірному просторі — безсумнівно. Але в нас тут, вибачте на слові, планіметрія, хіба ні?
в планіметрії також, довжина лінії, яка зєднує дві точки обмежена тільки знизу, і мінімальна довжина лінії буде у випадку якщо ця лінія — відрізок. так ось катети і гіпотенуза це відрізки, які утворюють трикутник, а ніяк не довільні лінії.
Ооок, і що з цього випливає?
Про готель, в якому нескінченно багато кімнат не написав. Там Кантор з Дедекіндом пляшку настоянки з кореню двійки на двох ділять
І ковбасу ріжуть по діагоналі. Ріжуть і їдять, а над ними диявол в образі жєнщіни...
І тут питання повстае таке, чи закінчиться в них ковбаса, якщо п’яні Невтон з Ляйбніцем праві?
От якщо праві, то точно не закінчиться. Банах з Тарським переконалися.
Банах з Тарським переконалися в тому, що знає кожен хто хочаб тиждень жив в одній квартирі з довгошерстним котом
Терпеть не могу математику, но геометрия — это еще в три раза хуже.
Математика — зло! Печінку садить на раз-два...
Інтернет вже поділили між собою?
Давно! Як буде натхнення, то ще буде задачка для домогосподарок.
Задачка з * для 11 класу коли вивчають граничні переходи.
Колись не було ніяких 11 класів, і люди жили по стодвадцять літ! А їли тільки сало та картоплю!
Картоплю відносно недавно почали їсти.
В 11 клас ходити — теж :)
А в школі казали, що все ж таки сумма квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Там же казали що бухать то взагалі зло.
Школа — теж зло!
Це правда
Помилка в тому, що поняття границі тут не може бути застосоване за означенням. не будуть виконуватися властивості границі
Точно, не можна? А чому?
Ось, вікіпедія бреше, що «..деякий об’єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення..». А Гейне (не Генріх, а Едуард) каже, що границею функції зменшення сходинок нашої червоної лінії в кожній точці є значення, що лежать на прямій.
То в чому проблема?
Точки-то может и сойдутся, но это не гарантирует что мера (то есть длина) сойдется
Тобто, ми маємо теорему, що два відрізка прямих на площині, що мають дві спільні точки (скажімо, А та В), можуть не співпадати?
А площина в нас не проєктивна, бува?
он не приближается, он отдаляется от наблюдателя )))
в конечном итоге — все точка. мнимая.
Цитата Піфагора неточна :-)
Та й Піфагор без штанів.
Теорема Піфагора без штанів перетворюється на аксіому
ЕскобараДіогена