Как по мне, «Today morning» режет слух, может быть, в американском варианте это и возможно, хотя вряд ли сотрудник NYT или The Washington Post напишет «Today morning».
Today’s morning headlines
— это заголовки сегодняшних новостей, а никак не «сегодня утром».
Еще говорят «I literally died», хотя literally означает «фактически», «без преувеличения», а не «чуть ли» «едва ли». Но просторечия со временем становятся нормированной лексикой.
У по части спеллинга американцы допускают ошибки, которые видны даже не нейтивам, но лексических ошибок, конечно больше, у English learners.
Примеров Today morning в значении наречия (adverb) не найти ...в качественной прессе.
Тогда как this morning, tomorrow morning, yesterday morning — этого много.